淺論基于信息熵的光學成像系統

　　0 引言

　　光學成像系統是一種最基本的光學信息處理系統，用于傳遞二維光學圖像信息，當信源攜帶輸入信息從光學成像系統傳播到像面時，輸出的圖像信息質量取決于光學系統傳遞特性。通常評價光學系統成像質量的方法有星點法、分辨率法及光學傳遞函數法等。星點法指檢驗點光源經過光學系統后產生像斑，由于像差等導致像斑不規則，很難對像斑定量計算和測量，易把主觀判斷帶入檢驗結果中;分辨率法雖能定量評價，但并不能對可分辨范圍內的成像質量給予全面評價[1];光學傳遞函數評價方法[2]通過研究系統空間頻率傳遞特性，考察光學系統傳遞過程中的變化，可以綜合分析評價系統成像質量，但因計算空間頻率較復雜等因素，仍有不足。為在實際工作中能根據光學成像系統輸出的圖像直接判定光學系統輸出的信息量，使分析更加方便，本文提出一種新的評價方法，利用系統成像信息熵分析光學系統在不同像散下的信息傳遞能力，以此評價光學系統性能。通過分析信息熵定義及計算方式[3]，計算點光源通過簡單光學系統后在不同像散情況下成像的信息熵，發現其值變化趨勢與光學傳遞函數評價光學系統像質方法的結果一致，表明信息熵可用于分析評價光學成像系統信息傳遞能力和光學系統性能。

　　1 信息熵

　　1.1 信息熵定義

　　信源指信息來源，一般以符號的形式發出信息。包含信息的符號通常具有隨機性，當符號隨機出現，�？捎秒S機變量代表。

　　信源符號取值于集合：

　　每個輸出符號常以等概率出現，即[pai=1n]，所以獲取的符號信息量與n有關，n越大，未收到該符號的不定性愈大，而后解除該不定性，意味著收獲信息量較大[4-5]�？紤]到概率[pai]在0～1時，為方便、直觀地獲得信息量大小，選用負對數進行定義，對于一個有n個等概率值的信源符號，規定信息量為：

　　其中，要求信息量I為非負值，所以對數底須大于1。

　　關于對數底的選取要求包括：①以2為底，單位為比特(Binary Digit，bt)，常用于實際工程;②以10為底，單位為Dit或哈特;③以e為底，單位為奈特(Natural Unit，Nat)，常用于理論推導。

　　單一信源發出單一消息包含的信息量是一個隨機變量，發出的消息不同，則含有的信息量也不一樣[6]。任何單一消息的信息量都代表不了整個信源包含的平均信息量，不能作為整個信源的信息測度，所以定義信息量的數學期望為信源平均信息量，定義為信息熵(簡稱熵)。

　　根據整個信源統計特性定義熵，從數學期望表征信源總體特性[7]。對于特定信源的熵只有一個。不同的信源因統計特性不同，其熵也不同。熵一般用符號H表示，對數以2為底，單位為比特。變量不確定性越大，熵越大。

　　1.2 信息熵計算

　　圖像也是信源符號的一種，對信源的推論可推及至圖像信息熵[8]。圖像信息熵是一種特征統計形式，描述圖像信源的平均信息量[9]。為了能反映圖像灰度分布的特征，選擇圖像的鄰域灰度均值作為灰度分布的特征量，與圖像的像素灰度組成特征二元組，記為(i，j)。其中i表示像素灰度值([0i255])，j表示鄰域灰度均值([0i255])。 　　式(3)反映某像素位置上的灰度值與其周圍像素灰度分布綜合特征，其中f(i，j)為特征二元組(i，j)出現的頻數，N是圖像尺度，定義圖像的信息熵為：

　　構造圖像信息熵可以在圖像包含信息量的前提下，突出反映圖像像素位置灰度信息和像素鄰域內灰度分布綜合特征[10-11]。

　　2 基于信息量的光學系統像散分析

　　2.1 光學傳遞函數評價分析光學系統

　　光學系統可看成是線性不變的系統，物體經過光學系統傳遞后，其頻率不發生改變，但是對比度下降，相位發生推移，并在某一頻率處截止，即對比度為零[12]。對比度降低和相位推移隨頻率變化而變化，其函數關系被稱為光學傳遞函數。用光學傳遞函數評價光學系統成像質量，是基于把物體看作由各種頻率的光譜組成[13]，也就是把物體的光場分布函數展開成傅里葉級數或傅里葉積分的形式。因為光學傳遞函數與光學系統的像差和光學系統衍射效果有關，所以可用于評價光學系統的成像質量[14-15]。

　　光學傳遞函數能反映光學系統對物體不同頻率成分的傳遞能力。高頻部分反映物體細節傳遞情況，中頻部分反映物體層次傳遞情況，低頻部分則反映物體輪廓傳遞情況，但是表明各種頻率傳遞情況的則是調制傳遞函數(MTF)[16-17]。MTF表示各種不同頻率正弦強度分布函數經光學系統成像后，其對比度(即振幅)衰減程度。理論上像點中心點亮度值等于調制傳遞函數曲線所圍的面積[18-19]，曲線所圍面積越大，光學系統傳遞的信息量越多，光學系統成像質量越好，圖像更清晰。

　　根據以上仿真結果可以看出，當空間頻率很低時，MTF 趨于1;當空間頻率提高，MTF 值逐漸下降，MTF曲線可以大致反映光學系統傳遞能力[20]。同時隨著光學系統像散的增加，MTF所圍面積變小，表明系統傳遞信息量變少，成像質量下降。MTF曲線大體可以反映光學系統成像質量，為了有更高效、精準的評價方法，提出一種新的用信息熵評價光學系統成像質量的方法。

　　2.2 基于信息量的光學系統成像分析與計算

　　圖像熵反映圖像平均信息量的多少�？梢酝ㄟ^計算圖像鄰域灰度均值計算得到圖像二維熵，使其可以在圖像包含信息量的前提下，突出反映圖像像素位置灰度信息和像素鄰域內灰度分布綜合特征，因此可以通過信息熵的大小判斷光學系統傳遞信息量的多少。

　　為了更好地對比，將點光源作為信源輸入到一個簡單的光學系統中，得到經過光學系統處理的圖像，利用Matlab軟件讀取圖像中的數據，將該數據編程，求得每一個數據3*3鄰域內的灰度均值，再與圖像像素灰度組成特征二元組，代入公式(4)中，即可計算出圖像的二維熵。結果如表1所示。

　　3 結語

　　利用信息熵的概念分析光學系統在不同像散下的信息傳遞能力，是一種新的評價方法。光學系統在不同像散下成像的信息熵可表征系統傳遞信息量的多少，從而反映光學系統傳遞能力，與光學傳遞函數評價方法相比，兩者結果一致，即信息熵反映了光學系統傳遞的信息量。因此可通過計算系統在不同像散情況下成像的信息熵，分析光學系統傳遞信息的能力，評價光學系統性能，仿真實驗驗證了該評價方法的有效性和可行性，為以后評價光學成像系統提供了更為客觀的依據，彌補了傳統評價方法的不足。